「親テーマ直下に、解凍したicomoonフォルダを置く」という理解で合ってますか？
親テーマを直接カスタマイズしている場合は、親テーマ直下に。子テーマでカスタマイズしている場合は、子テーマ直下で良いかと思います。
また、親テーマ利用と、子テーマ利用では、headタグ内に書く関数のコードも変わってくるので、記事をご確認ください。
アイコンフォントが表示されない原因については、URLを提示していただいて実際のカスタマイズページを見てみないと、何とも言えないかもしれません。
ただ、見たとしてもPHPコードは、こちら側から確認することができないので、必ずしも原因か分るとは限らないです。
