Squarespaceのようなサイトを作るには、いろいろな方法が取れると思います。
それこそ、PHPとjQueryなどでも作ろうと思えば作れると思いますが、僕だったらフレームワークを使うと思います。
僕は、サーバーサイドスクリプトは、Rubyが好きなのでRuby on Rails＋jQueryを利用すると思います。
参考：Ruby on Rails 4入門 (全28回) – プログラミングならドットインストール
参考：Rails以外にもある！Rubyのフレームワークを比較してみた！ | TechAcademyマガジン
PHPで書くとしたら、CakePHP＋jQueryとかでしょうか。
参考：CakePHP3入門 (全26回) – プログラミングならドットインストール
参考：【2016年版】PHPフレームワーク人気比較 | TechStars Blog
あと、サーバーサイドスクリプトだけで作成すると、ページ遷移してユーザーの利便性が悪いかもしれないので、Squarespace的なものを目指すのだとしたら、JavaScriptフレームワークで作るということも検討するかもしれません。
参考：AngularJS入門 (全12回) – プログラミングならドットインストール
参考：Backbone.js入門 (全22回) – プログラミングならドットインストール
参考：Express入門 (全21回) – プログラミングならドットインストール
参考：Backbone.JSからAngular2まで、全9大JavaScriptフレームワークを書き比べた! – paiza開発日誌
言語や、フレームワークは手段に過ぎないので、とりあえず自分が出来そうと思うもので作るのが良いかと思います。
ただ、人によってWebツールの作り方はいろいろあると思うので、これはあくまで僕だったらこうするかもといった感じです。